Я писал в предисловии: “Издавая работу, содержащую так много нерешенных трудностей, я оправдываю это тем, что исследование не дало пока ближайшей перспективы для адекватного решения противоречия, обсужденного в главе X, и не позволило лучше разобраться в природе классов. Постоянно обнаруживаемые ошибки в решениях, какое-то время меня удовлетворявших, выявили всю серьезность проблем, которые не поддавались обманчиво правдоподобнььм теориям, порожденным поверхностным размышлением, а только скрывались под этими теориями; поэтому я счел за лучшее сформулировать трудности и не ждать того времени, когда меня убедит истинность какого-нибудь почти наверняка ошибочного учения”. А в конце главы о противоречиях я сказал: “В противоречии не замешана никакая философия, оно порождено.здравым смыслом и может быть разрешено, лишь если мы отринем одно из его допущений. Только гегелевская философия, которая живет за счет противоречий, может остаться безучастной, потому что находит подобные проблемы всюду. В любом другом учении столь прямой вызов требует ответа либо признания в бессилии. К счастью, других аналогичных трудностей, насколько я знаю, “Принципы математики” не содержат”. В приложении к книге излагалось учение о типах как возможное решение. Впоследствии я убедился, что решение действительно обнаруживается с помощью этого учения, но в “Принципах математики” я пришел к его очень грубой и неадекватной форме. Мои выводы того времени выражены в последнем параграфе книги: “Резюмируем: как оказалось, специальное противоречие главы Х решается с помощью учения о типах, но имеется по крайней мере одно аналогичное противоречие, которое, вероятно, неразрешимо с помощью этого учения. Тотальность всех логических объектов, или всех суждений, предполагает, по-видимому, фундаментальную логическую трудность. Каково окончательное ее решение, я не выяснил; но поскольку она оказывает влияние на сами основы рассуждения, я очень рекомендую всем, кто изучает логику, обратить на это внимание”.