Завершив “Принципы математики”, я начал настойчиво искать решение парадоксов. Это было почти личным вызовом, и при необходимости я готов был потратить на них всю оставшуюся жизнь. Однако по двум причинам я отказался от этого намерения. Во-первых, проблема в какой-то момент показалась мне тривиальной, а я ненавидел все недостойное внимания и интереса. Во-вторых, сколько я ни старался, решение не приходило. На всем протяжении 1903 и 1904 годов я почти все время занимался этим вопросом, но без каких-либо признаков успеха. Первой удачей стала (весной 1905 года) теория дескрипций. Она, разумеется, не была связана с противоречиями, но позже такая связь выявилась. В конце концов мне стало совершенно ясно, что в какой-то форме учение о типах существенно важно. Не настаивая на той конкретной форме, которая придана этому учению в “Principia Mathernatica”, я остаюсь при полном убеждении, что без теории типов парадоксы разрешить невозможно.

Когда я искал решение, мне казалось, что для того, чтобы решение выглядело удовлетворительным, необходимы три условия. Первое из них и абсолютно обязательное: противоречия должны исчезнуть. Второе-весьма желательное, хотя логически не непременное: решение должно оставить в неприкосновенности как можно больше математики. Третье, трудно формулируемое: решение должно, видимо, апеллировать к так называемому “логическому здравому смыслу”, т. е. оказаться в конце концов таким, каким мы его и ожидали увидеть. Из этих трех условий первое, разумеется, признано всеми. Второе, однако, отвергается теми, кто считает, что значительные разделы анализа в их нынешней формулировке неверны. Третье условие не считают существенно важным те, кто довольствуется логической техникой. Профессор Куайн, к примеру, нашел системы, которые привлекают своей изобретательностью. Но их нельзя считать удовлетворительными, поскольку они, видимо, созданы ad hoc; и они отличаются от тех систем, которые представлял бы себе самый умный логик, если бы не знал о противоречиях. По этому вопросу, однако, вышло огромное количество трудной для понимания литературы, и я не буду касаться более тонких моментов.